Формулы по теории вероятности онлайн

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте. Версию в pdf можно скачать на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей.

Для вашего удобства к формулам по теории вероятностей мы добавили ссылки на примеры, теорию, калькуляторы, видеоуроки и статьи по подходящим разделам. Используйте эти возможности!

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные события. Основные формулы онлайн

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Основные формулы комбинаторики

Число перестановок

$$P_n = n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$

Число размещений

$$A_m^n = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-m+1)$$

Число сочетаний

$$C_n^m =\frac{A_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$$

Число перестановок с повторениями

$$ P_n (n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1! \cdot n_2!\cdot ... \cdot n_k!}. $$

Число размещений с повторениями

$$\overline{A}_n^k=n\cdot n\cdot ... \cdot n = n^k. $$

Число сочетаний с повторениями

$$\overline{C}_n^k=C_{k+n-1}^k=\frac{(k+n-1)!}{(n-1)!\cdot k!}$$

Как выбрать формулу комбинаторики? и примеры решений


Классическое определение вероятности

$$P(A) = \frac{m}{n},$$ где $m$ - число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ - число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Подробнее: онлайн-учебник, решенные примеры и калькулятор.


Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B) $$

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

$$ P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) $$

Подробнее: примеры решений и теория, разбор задачи про выстрелы



Нужна помощь с работой по теории вероятностей?

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B) $$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$$ P(A\cdot B) =P(A)\cdot P(B|A),\\ P(A\cdot B) =P(B)\cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ - условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ - условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Подробнее об условной вероятности.


Формула полной вероятности

$$ P(A)=\sum_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k), $$

где $H_1, H_2, ..., H_n$ - полная группа гипотез.


Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

$$ P(H_m|A) =\frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{P(A)} = \frac{P(H_m)\cdot P(A|H_m)}{\sum\limits_{k=1}^{n} P(H_k)\cdot P(A|H_k)}, $$

где $H_1, H_2, ..., H_n$ - полная группа гипотез.

Примеры решений и теория в учебнике.


Формула Бернулли

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ - вероятность появления события при одном испытании.

Примеры решений, теория в учебнике, онлайн-калькуляторы.


Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ - вероятность появления события при одном испытании):

$$ np-(1-p) \le k_0 \le np+p. $$

Как вычислить наивероятнейшее значение онлайн.


Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний $n$ велико, и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np \lt 10$, можно применять формулу Пуассона:

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}. $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Еще: онлайн калькулятор, примеры решений.


Локальная формула Лапласа

$$ P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi\left( \frac{k-np}{\sqrt{npq}} \right) $$

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ - вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\varphi(x)$ берутся из таблицы.


Интегральная формула Лапласа

$$ P_n(m_1, m_2) = \Phi\left( \frac{m_2-np}{\sqrt{npq}} \right)-\Phi\left( \frac{m_1-np}{\sqrt{npq}} \right) $$

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ - вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $\Phi(x)$ берутся из таблицы.

Глава из учебника и решенные примеры на обе формулы.


Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

$$ P\left( \left| \frac{m}{n} -p\right| \le \varepsilon\right) = 2 \Phi\left( \varepsilon\cdot \frac{n}{\sqrt{p(1-p)}} \right) $$

$\varepsilon$ - величина отклонения, $p$ - вероятность появления события.

Готовые примеры решений.



Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:



Качественно решим теорию вероятностей. Закажите сейчас!

Полезные ссылки

А также для изучения тервера у нас есть: