Учебник по теории вероятностей
1.10. Теоремы Муавра-Лапласа
Пусть в каждом из 
независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью 
, 
(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через 
вероятность ровно 
появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть 
– вероятность того, что число появлений события А находится между 
и 
.
Локальная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где 
- функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Интегральная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где 
- функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а) 
б) при больших 
верно 
.
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при 
. Причем чем ближе значения 
к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).
Как считать по формулам Лапласа в Эксель
Примеры решений задач
Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
Решение. По условию 
, откуда 
По таблицам найдем 
.
Искомая вероятность равна: 
Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:
В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20
Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью 
. Находим 
. Можно применять формулы Лапласа:
Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.
Решаем онлайн: калькулятор по формулам Лапласа
Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?
Решение. Будем считать, что событие 
произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи 
, 
. Нас интересует такое наименьшее число посетителей 
, что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха 
приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. 
.
Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что 
. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.
В нашем случае: – неизвестно, 
, 
, 
. Тогда
Используя таблицы для функции 
, находим, 
, и, значит, 
. Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.