МатБюро Теория вероятностей Формулы и таблицы Распределения случайных величин

:

, : , , , , .



Понравилось? Добавьте в закладки

$X$ - "" $n$ , "" $p$ ("" - $q=1-p$).

$X$ :

$x_k$ 0 1 ... k ... n
$p_k$ $q^n$ $n\cdot p \cdot q^{n-1}$ $C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ $p^n$

:

$$ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, k=0,1,2,...,n. $$

:

$$M(X)=np, \quad D(X)=npq, \sigma(X)=\sqrt{npq}.$$

$n=5$ :


, , , , .

$p\to 0$, $n \to \infty$, $np \to \lambda = const$ . $p$ $A$ , .

:

$x_k$ 0 1 ... k ...
$p_k$ $e^{-\lambda}$ $\lambda e^{-\lambda}$ ... $\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$ ...

:

$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, k=0,1,2,... $$

:

$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda, \sigma(X)=\sqrt{\lambda}.$$

$\lambda = 1; 4; 10$.


, $p$. $X$ - , .

:

$$ P(X=k) = q^k \cdot p, k=0,1,2,...,n,... $$

:

$x_k$ 0 1 2 ... k ...
$p_k$ $p$ $q\cdot p$ $q^2 \cdot p$ ... $q^k \cdot p$ ...

:

$$M(X)=\frac{q}{p}, \quad D(X)=\frac{q}{p^2}.$$


, $N$ ($K$ $N-K$ ), $n$ ($n \le N$). $X$ - .

$X$ $0$ $K$ ( $n \lt K$, $n$). : $$ P(X=k)=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}, \quad 0\le k \le K. $$

:

$$M(X)=\frac{K}{N}\cdot n, \quad D(X)=\frac{K}{N}\cdot n \cdot \frac{N-n}{N} \cdot \frac{N-K}{N-1}.$$



. !

, .

$X$( $ \lambda \gt 0)$:

$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \lt 0\\ \lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0 \\ \end{array} \right. $$

$X$:

$$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \lt 0\\ 1- e^{-\lambda x},\ x\ge 0 \\ \end{array} \right. $$

:

$$M(X)=\frac{1}{\lambda}, \quad D(X)=\frac{1}{\lambda^2}, \quad \sigma= \frac{1}{\lambda}.$$

$\lambda \gt 0$:


(, ), , , .

$(a;b)$:

$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {1}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 0,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$

:

$$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {x-a}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 1,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$

:

$$M(X)=\frac{a+b}{2}, \quad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}, \quad \sigma=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}.$$

:


, , , , .

, . , , , .

$X$ :

$$f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left({-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\right). $$

$a=0$ $\sigma=1$ :

$$\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}.$$

$\varphi(x)$

:

$$M(X)=a, \quad D(X)=\sigma^2.$$

:

$a=0$ $\sigma=1$ , - .

:

$$\Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-t^2/2} dt$$

$X$ $(\alpha, \beta)$:

$$ P(\alpha \lt X \lt \beta) = \Phi\left( \frac{\beta-a}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{\alpha-a}{\sigma} \right). $$

$X$ $\delta$ ( ).

$$ P(|X -a|\lt \delta) = 2 \Phi\left( \frac{\delta}{\sigma} \right). $$


Спасибо за ваши закладки и рекомендации

? :



. !