Равномерно распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ - распределенных по равномерному закону.

В сущности, равномерное распределение - самое простое из семейства непрерывных, и определяется тем, что плотность распределения постоянна (равна константе) на всем интервале: $f(x)=c=\frac{1}{b-a}, x\in (a;b)$ (а вне его равна нулю):

$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {1}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 0,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$

Функция распределения для нее вычисляется практически в уме:

$$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {x-a}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 1,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$

Для равномерного на интервале $(a;b)$ распределения известны формулы для числовых характеристик. Математическое ожидание $M(X)=\frac{a+b}{2}$, дисперсия $D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$.

В жизни равномерным распределением часто моделируют время ожидания транспорта, ошибки округления в пределах цены деления.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются равномерно распределенные случайные величины.


Лучшее спасибо - порекомендовать эту страницу

Примеры решений

Задача 1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина $\xi$ - время ожидания автобуса на остановке - распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.

Решение задачи о времени ожидания автобуса

Задача 2. Телефонный звонок должен последовать от 10 ч до 10 ч 20 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 мин указанного промежутка, если момент звонка случаен?

Решение задачи о времени звонка

Задача 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение задачи об ошибке измерения

Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 3 минут. Найти а) плотность распределения времени ожидания, б) вероятность ожидания лифта более чем 2 минуты, в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 15 секунд, г) среднее время ожидания лифта и дисперсию времени ожидания.

Решение задачи о времени ожидания лифта

Задача 5. Случайная величина $X$ задана интегральной $F(x)$ или дифференциальной $f(x)$ функцией. Требуется:
а) найти параметр $C$;
б) при заданной интегральной функции найти дифференциальную функцию; а при заданной дифференциальной функции найти интегральную функцию;
в) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$;
г) найти математическое ожидание $M[X]$ дисперсию $D[X]$ среднее квадратическое отклонение $\sigma[X]$;
д) вычислить вероятность попадания в интервал $P(a\lt X \lt b)$;
е) определить, квантилем какого порядка является точка $x_p$;
ж) вычислить квантиль порядка $p$.

$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} {0,x \lt -1,} \\ {C, -1 \le x \le 1} \\ {0, x\gt 1.} \end{array} \right. $$
Решение задачи о равномерной случайной величине (полное исследование)

Задача 6. Дана плотность распределения $p(x)$ случайной величины $\xi$. Найти параметр $\gamma$, математическое ожидание $M\xi$, дисперсию $D\xi$, функцию распределения случайной величины $\xi$, вероятность выполнения неравенства $x_1 \lt \xi \lt x_2$. $$a=1, b=1,8, x_1=1,3, x_2=1,6.$$ $$ p(x)= \left\{ \begin{array}{l} {1,x \in [\gamma; 1,8],} \\ {0,x \not\in [\gamma; 1,8].} \\ \end{array} \right. $$

Решение задачи РСВ

Задача 7. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1;8). Найти:
а) дифференциальную функцию,
б) интегральную функцию,
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,
г) вероятность попадания в интервал (3;5).

Решение задачи (равномерное распределение)

Задача 8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: $$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} {0,x \lt a,} \\ {\frac{x-1}{2}, x \in [a,b]} \\ {1, x\gt b.} \end{array} \right. $$ Определить параметры $а$ и $b$, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал $[-1, 2]$. Построить графики $р(x)$ и $F(x)$.

Решение задачи (задана функция распределения)

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности: