МатБюро Примеры решений Математика Теория вероятностей Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрический закон распределения

На этой странице мы собрали примеры решения учебных в которых встречается гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины.

Краткая теория

С понятием гипергеометрической вероятности мы уже сталкивались ранее, когда решали определенный кластер задач по формуле классической вероятности: задачи про выбор шаров определенного цвета, выигрышных лотерейных билетов или бракованных деталей. Теперь такие же задачи будут встречаться и при изучении случайных величин.

Для определенности сформулируем задачу следующим образом:

Из урны, в которой находятся $N$ шаров ($K$ белых и $N-K$ чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров ($n \le N$). Найти закон распределения случайной величины $X$ - равной числу белых шаров среди выбранных.

Случайная величина $X$ может принимать целые значения от $0$ до $K$ (если $n \lt K$, то до $n$). Вероятности вычисляются по формуле: $$ P(X=k)=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}, \quad 0\le k \le K. $$

В задачах, конечно же, речь может идти не только о шарах белого и черного цвета, а о многом другом: телевизорах марки А или Б, выигрышных и проигрышных билетах, стандартных и нестандартных деталях и т.п. выборках, где есть объекты двух типов и мы отслеживаем, сколько объектов нужного "типа" появится.

Для гипергеометрического распределения можно вычислять числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) как по обычным формулам (по ряду распределения), так и по готовым формулам:

$$M(X)=\frac{K}{N}\cdot n, \quad D(X)=\frac{K}{N}\cdot n \cdot \frac{N-n}{N} \cdot \frac{N-K}{N-1}.$$
Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Примеры решенных задач

Задача 1. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно.

Решение на гипергеометический закон распределения

Задача 2. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Гипергеометрический закон, решение

Задача 3. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение задачи 171 (Гмурман)

Задача 4. Составить закон распределения числа карт трефовой масти среди четырех взятых наугад из колоды карт. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение (гипергеометрический закон)

Задача 5. В партии из 11 изделий 5 имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны 4 изделия. Пусть X - число бракованных изделий среди выбранных. Напишите закон распределения для случайной величины X и вычислите ее математическое ожидание.

Решение задачи о числе бракованных изделий

Задача 6. В стопке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по информатике. Выбирают наудачу три книги. Составить закон распределения числа книг по математике среди отобранных. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

Решение задачи о книгах

Задача 7. Для экспертной оценки качества растворимого кофе было отобрано 9 образцов разных производителей: 6 образцов фирмы Nestle и 3 образца фирмы KraftFood. В результате проверки выяснилось, что 4 случайно выбранных образца соответствуют стандартам качества.
А) Составьте ряд распределения числа образцов фирмы Nestle, среди отобранных и постройте его график.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения;
В) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;
Г) Чему равна вероятность того, что как минимум два образца фирмы Nestle соответствуют качеству?

Решение задачи об образцах кофе

Задача 8. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наудачу извлекают сразу 4 шара. Пусть $X$ - число белых шаров в выборке. Найдите ряд распределения, функцию распределения и моду случайной величины $X$. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение Х, найдите вероятность события $X \ge MX$.

Решение задачи о шарах

Задача 9. В коробке 20 одинаковых клубков ниток, из них – 4 клубка с красными нитками. Наудачу вынимают 2 клубка. Найти закон распределения числа клубков с красными нитками.

Решение задачи о клубках ниток

Задача 10. В сборной команде института по стрельбе 16 человек, из них 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух членов сборной. Составьте закон распределения дискретной случайной величины $Х$ – числа перворазрядников среди выбранных. Найдите числовые характеристики этой случайной величины, функцию $F(x)$ и постройте ее график.

Решение задачи на гипергеометрическое распределение

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике сейчас среди 11 тысяч задач с полным решением: