Схема исследования функции
На этой странице мы разберем пошагово, как исследовать функцию с помощью производных. Выпишем сначала краткий алгоритм, а потом подробнее поясним, что в входит в каждый раздел, дадим ссылки на скачивание файлов со схемой исследования и шаблоном для самостоятельного решения.
Алгоритм исследования функции
Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.
- Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
- Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
- Определить, является ли функция чётной или нечётной.
- Определить, является ли функция периодической (для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
- Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
- Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях) список может иметь другой вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования вашего преподавателя при оформлении решения.
Алгоритм исследования: краткий и подробный
Подробный план исследования функции
Пройдем по плану исследования функции, приведенному выше, чуть подробнее.
1. Область определения и точки разрыва
Функция может быть определена не на всей числовой прямой. Если функция задана как дробь - уточняем, что знаменатель не обращается нуль; если есть логарифм - выражение под ним должно быть положительным; если корень четной степени - выражение под ним должно быть неотрицательным и т.д.
Например, для функции \( f(x) = \frac{x+3}{x - 2} \) область определения задается выражением $x\ne 2$ или \( D(f) = (-\infty,2) \cup (2,+\infty) \).
Важно учитывать область определения в следующих пунктах, где исследуется знакопостоянство функции, монотонность, выпуклость.
2. Вертикальные асимптоты
В точках, исключённых из области определения (или граничных), могут наблюдаться разрывы функции и появляются вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты — это такие значения \( x = a \), вблизи которых функция стремится к бесконечности. Проверяем их наличие с помощью вычисления односторонних пределов:
\[ \lim_{x \to a-0} f(x), \quad \lim_{x \to a+0} f(x) \]
Если хотя бы один из них равен \( \pm\infty \), то \( x = a \) — вертикальная асимптота. Проверку надо провести для каждой точки, исключенной из области определения на этапе 1.
3. Пересечение с осями и знакопостоянство функции
C осью OY: если точка 0 входит в область определения функции, подставляем \( x = 0 \), вычисляем и получаем точку $(0, f(0))$.
С осью OX: решаем уравнение \( f(x) = 0 \), находим корни $x_1, x_2,...$ (если они есть) - это нули функции. Получаем точки $(x_1,0)$, $(x_2,0)$, ... Не всегда это уравнение легко решается, иногда приходится находить корни численно или вообще пропустить этот пункт.
Непосредственно по виду функции или с помощью метода интервалов определяем интервалы знакопостоянства функции: где \( f(x) > 0 \) (график выше оси абсцисс), а где \( f(x) < 0 \) (график ниже оси абсцисс).
4. Чётность и нечётность функции
Функция чётная, если \( f(-x) = f(x) \). Тогда ее график симметричен относительно оси OY.
Функция нечётная, если \( f(-x) = -f(x) \). Тогда ее график симметричен относительно начала координат.
Если ни одно из условий не выполняется (что бывает чаще всего), функция называется "функцией общего вида", иногда пишут "функция ни четная, ни нечетная".
Если область определения функции не симметрична относительно 0, то можно сразу сказать, что это функция общего вида.
5. Периодичность (для тригонометрических функций)
Периодическая функция удовлетворяет условию: \[ f(x + T) = f(x) \]
Например, \( f(x) = \sin x \) имеет период \( T = 2\pi \). Если функция периодическая, достаточно исследовать график на одном периоде, например $(0, 2\pi)$.
6. Экстремумы и интервалы возрастания/убывания
Находим первую производную \( f'(x) \). Находим критические точки — это решения уравнения \( f'(x) = 0 \) и точки, где производная не существует.
На числовой прямой откладываем все критические точки и точки разрыва функции, на каждом из полученных интервалов (где функция определена) проверяем знак производной. Чаще всего это делают методом интервалов.
- Если \( f'(x) > 0 \), функция возрастает на данном интервале.
- Если \( f'(x) < 0 \), функция убывает на данном интервале.
Рассматриваются критические точки, в которых функция определена. Если производная меняет знак с + на -, то в соответствующей точке наблюдается максимум, если с - на +, то - минимум.
Вычисляем значения экстремумов (максимумов и минимумов), чтобы использовать в построении графика.
7. Перегибы, выпуклость и вогнутость
Находим вторую производную \( f''(x) \). Действуем по аналогии с предедыщим пунктом. Сначала находим критические точки — корни уравнения \( f''(x) = 0 \) и точки, где вторая производная не существует.
На числовой прямой откладываем все критические точки и точки разрыва функции, на каждом из полученных интервалов (где функция определена) проверяем знак второй производной.
- Если \( f''(x) > 0 \), график вогнут (выпукл вниз).
- Если \( f''(x) < 0 \), график выпукл (выпукл вверх).
Перегиб происходит в точках, принадлежащих области определения функции, где вторая производная меняет знак. Вычисляем значения функции в точках перегиба.
8. Наклонные асимптоты и поведение на бесконечности
Наклонная асимптота задается уравнением вида \( y = kx + b \), где коэффициенты находятся как пределы: \[ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) \]
Если пределы конечны, то говорят, что у функции есть наклонная \( y = kx + b \) или горизонтальная \( y = b \) (для $k=0$) асимптоты.
Для некоторых функций (например, с экспонентами), пределы при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$ могут быть различны, поэтому надо считать оба варианта.
Если требуется исследовать поведение функции на бесконечности, следует вычислить пределы при \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) \]
Если предел конечен — существует горизонтальная асимптота. Если нет - мы будем понимать, куда стремится график функции.
9. Дополнительные точки
Для большей точности графика можно вычислить несколько дополнительных значений функции. Этот пункт необязательный, зависит от функции и найденных на предыдущих этапах ключевых точек.
10. Построение графика
На координатной плоскости:
- Проводим асимптоты (если есть).
- Отмечаем все ключевые точки: разрывы, экстремумы, перегибы, пересечения с осями.
- Соединяем точки плавной линией, с учётом поведения функции и ее производных.
График должен отражать все основные особенности функции, быть построенным в нужном масштабе, наглядным.
Как легко построить график функции
Шаблон файла для решения
Ниже вы найдете шаблон файла решения для задачи исследования функции с помощью производной, в котором уже записаны все основные шаги. Следуя плану выше, для конкретной функции нужно провести расчеты и построить график.