Исследование функции: контрольные работы
Ниже представлены некоторые работы по курсу высшей математике, связанные с задачами по полному исследованию функции с помощью производных, выполненные в МатБюро (для студентов заочников и очников, экономистов и технарей).
Нужна помощь с подобными задачами? Обращайтесь в МатБюро.
Примеры оформленных работ
- Контрольная по исследованию функции Объем 7 страниц.
Провести исследование и построить график функции.
$$y=x(x^2-1)$$ $$y=\frac{x^2-2x}{x-1}$$ - Исследование дробно-рациональной функции Объем 5 страниц.
Исследовать функцию по плану:
$$y=\frac{x^2-9}{x-4}$$
1. Найти область определения функции
2. Найти координаты точек пересечения с осями координат
3. Чётность, нечётность функции
4. Найти асимптоты и пределы на плюс, минус бесконечности
5. Определить критические точки
6. Определить интервалы монотонности и точки экстремума
7. Определить промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба
8. Найти дополнительные точки, если нет асимптот
9. Построить график, обозначить точки максимума и минимума
10. Определить область значения функции - Исследование и построение графиков функций Объем 8 страниц.
Задача 1. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. Построить график функции.
$$y=(x^2-1)^3$$Задача 2. Исследовать функцию и построить график
$$y=\frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}}$$Задача 3. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Найти асимптоты и построить график.
$$y=\frac{(x-1)^4}{x^4}$$ - Контрольная по исследованию функции Объем 11 страниц.
Задача 1. Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции:
$$y=\frac{1-x^3}{x^2+x}$$Задача 2. Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции:
$$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$Задача 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке $[0,2]$.
$$y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x$$Задача 4. Составить уравнение касательных к кривой $t=(x+4)/(2x+5)$, которые перпендикулярны прямой $y=3x+4$. Сделать чертеж.
Задача 5. Найти экстремумы функции
$$y=\frac{2}{9}x^3-\frac{1}{3}x^2-4x$$Задача 6. Исследовать функцию
$$y=\frac{x}{(x-3)(x-1)}$$Задача 7. Исследовать функцию
$$y=\frac{1}{(x+1)(x-2)}$$
Алгоритм исследования функции
- Найти область определения $f(x)$. Выделить особые точки. Определить тип точек разрыва.
- Выяснить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
- Найти точки пересечения с осями абсцисс и ординат.
- Установить, является ли функция чётной или нечётной (или не принадлежит такому типу).
- Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
- Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания).
- Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.
- Найти наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Исследовать поведение при $x\to \pm \infty$.
- Если необходимо, взять дополнительные точки и найти значение функции в них.
- Построить график функции и асимптоты.
