Типовой расчет МИРЭА

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решенных работ (типовики, контрольные) по теории вероятностей (тервер), выполненные по сборникам МИРЭА разных лет и семестров.

Теория вероятностей

Часть 1, случайные события, вариант 1

• Задача 1.1. В магазине 20 калькуляторов трех разных производителей: А, В и С, причем производства компании А – 7 шт., В – 8 шт., и С – 5 шт. Наугад куплено пять калькуляторов. Найти вероятность того, что: а) все купленные калькуляторы произведены компаниями А или В, б) среди купленных хотя бы два произведены компанией С.
• Задача 1.2. В правильный треугольник наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в треугольник круга.
• Задача 1.3. Надежность схемы – вероятность ее работы за время t. p - надежность элемента, q - вероятность отказа элемента. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность схемы.
• Задача 1.4. В первой урне лежат 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, во второй урне – 10 белых, 8 черных и 6 красных, в третьей 2 белых, 7 черных и 3 красных. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что: а) все вынутые шары окажутся одного цвета; б) ровно два шара окажутся красными?
• Задача 1.5. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются одинотипные болты. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,01, для третьего – 0,03. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительности станков относятся как 5:3:2.
  А) найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованная,
  Б) взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке.
• Задача 1.6. Устройство состоит из элементов с одинаковой надежностью p (надежность элемента – вероятность его работы за время t). Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время t:
  1) выйдет из строя m элементов,
  2) выйдет из строя более двух элементов.

Часть 2, случайные величины, вариант 1

• Задача 2.1. Фекла решила удивить своего бойфренда роскошным ужином и купила для этого в супермаркете пакет с картофелем. Картофель упаковывают по 14 штук в каждый пакет, причем 2 из них с темными пятнами внутри. Фекла чистит 5 картофелин на ужин. Найдите рад распределения случайной величины X числа испорченных картофелин среди очищенных, постройте график функции распределения, найдите MX, DX.
• Задача 2.2. Устройство содержит некоторое количество одинаково надежных элементов, которые могу отказывать независимо друг от друга с одинаковой вероятностью. X - случайная величина – число отказавших элементов.
• Задача 2.3. В урне находятся белые и черные шары. Из урны извлекается шар, фиксируется его цвет и шар возвращается в урну. Шар извлекается до первого появления события (число извлечений неограниченно). Событие A - появление черного шара. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Построить ряд распределения дискретной случайной величины X - числа извлеченных шаров. Найти математическое ожидание и дисперсию X. Найти вероятность того, что извлекалось более четырех шаров.
• Задача 2.4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины F(x). Найти плотность распределения f(x), параметр A, вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (a,b), математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины. Построить графики f(x) и F(x).
• Задача 2.5. Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [1;А]. Математическое ожидание равно 5,5. Найти параметр распределения А, функцию распределения, плотность распределения , построить графики функции распределения и плотности распределения случайной величины. Найти дисперсию случайной величины и вероятность попадания в интервал (3; 17).
• Задача 2.6. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с параметром l=11. Найти плотность распределения случайной величины X, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X и вероятность того, что X принимает значения, меньшие своего математического ожидания.
• Задача 2.7. Автомат по нарезанию гвоздей длиной 80 мм в нормальном режиме имеет случайную ошибку, распределенную по нормальному закону. Систематическая ошибка отсутствует, средняя квадратическая ошибка равна 0,5 мм. В каком интервале с вероятностью 0,999 будет находиться длина гвоздя?
• Задача 2.8. Устройство состоит из 80 элементов с одинаковой надежностью 0,8 (надежность элемента – вероятность его работы за время t). Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:
  1) за время t выйдет из строя от 10 до 20 элементов;
  2) относительная частота выхода из строя элементов будет отклоняться от вероятности этого события менее чем на 0,1 (по абсолютной величине).

Типовой расчет по ТВ (дискретные и непрерывные случайные величины)

• Задача 1. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна p1=0,4, вторым - p2=0,65. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин Х и Y - числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.
• Задача 2. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х: Найти: постоянную С, интегральную функцию F(x). Вероятность попадания СВ Х в интервал (0,5; 1,5).
• Задача 3. НСВ Х задана интегральной функцией: F(x). Найти вероятность того, что в результате N=3 испытаний Х примет значение в интервале (a,b)=(-1, 1).
• Задача 4. Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 3, в) не меньше 3, г) не меньше 5.
• Задача 5. Дана интегральная функция НСВ Х: Найти дифференциальную функцию и вероятность попадания СВ на интервал для данной F(x).
• Задача 6. Найти M(x) числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено N=50 билетов, причем вероятность выигрыша равна p=0,01.
• Задача 7. НСВ задана дифференциальной функцией: в интервале (-с; с), вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность попадания СВ Х в интервал и функцию распределения F(x).
• Задача 8. НСВ X распределена нормально с математическим ожиданием m=20. Вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b)=(20, 40) равна p=0,3. Чему равна вероятность попадания НСВ Х в интервал (c; d)=(0, 20)?
• Задача 9. Случайные величины X и Y заданы законами распределений. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайных величин X и Y. Составить законы распределений случайных величин Z = X+Y, V=XY. Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины W=2X-4Y.
• Задача 10. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b)=(2,5, 3); б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) f(x); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; г) построить графики функций F(x) и f(x) .