Примеры решений интегралов

В этом разделе вы найдете подробные решения по темам: нахождение неопределенных интегралов от разных классов функций (корни, тригонометрия, дроби), вычисление определенных интегралов, вычисление несобственных интегралов и проверка на сходимость. Смотрите также Вычисления площадей, объемов, длин с помощью определенного интеграла.

Неопределенные интегралы

Задача 1. Найти неопределенный интеграл $$ \int \frac{x^5}{\sqrt[3]{1+x^3}}\,dx. $$

интеграл с корнями (pdf, 32 Кб)

Задача 2. Найти неопределенный интеграл $$\int\frac{4x^2+7x-23}{(x^2-4x+8)(x+1)^2}dx.$$

Ринтеграл от дробно-рациональной функции (pdf, 38 Кб)

Задача 3. Найти неопределенный интеграл $$\int (x^3-4x+5) \cos 3x\, dx.$$

взятие интеграла по частям (pdf, 34 Кб)

Задача 4. Найти неопределенный интеграл $$\int \frac{dx}{3\cos x+\sin x +5}.$$

интегрирование с помощью универсальной подстановки (pdf, 43 Кб)

Задача 5. Найти неопределенный интеграл $$\int \frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2} \right)}.$$

решение через замену корня (pdf, 38 Кб)

Определенные интегралы

Задача 6. Вычислить определенный интеграл $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}x\, ctg^2 x\,dx. $$

Вычисление определенного интеграла подробное (pdf, 34 Кб)

Задача 7. Вычислить определенный интеграл $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sin 6x \sin 7x\,dx. $$

интеграл от тригонометрической функции (pdf, 31 Кб)

Задача 8. Вычислить определенный интеграл, предварительно разложив дробь на сумму элементарных дробей. $$ \int_{1}^{2} \frac{dx}{(x+1)(x+2)^2}. $$

интеграл от дроби (pdf, 39 Кб)

Задача 9. Вычислить определенный интеграл $$ \int_{0}^{e^3} \sqrt[3]{x}\, \ln x\,dx. $$

интегрирование по частям (pdf, 28 Кб)

Несобственные интегралы

Задача 10. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость $$ \int_0^1\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}. $$

Разрывная функция (pdf, 39 Кб)

Задача 11. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость $$ \int_0^{\infty}\frac{x\,dx}{(x+3)^2}. $$

Бесконечный предел (pdf, 29 Кб)

Задача 12. Исследовать на сходимость несобственный интеграл $$ \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx. $$

Исследование на сходимость (pdf, 38 Кб)

Не берется интеграл? Вычислим быстро и подробно поясним!