Первые шаги в дифференциальных уравнениях: теория и практика
Умение решать дифференциальные уравнения — важный навык для инженеров, экономистов, физиков и специалистов многих других областей. Решение дифференциальных уравнений необходимо при расчетах физических параметров, моделировании экономических процессов, анализе биологических или медицинских систем.
Ниже мы приведём пример применения простого дифференциального уравнения в экономике, а сначала кратко рассмотрим основные типы уравнений.
Дифференциальные уравнения — простейшие виды
Законы природы часто выражаются через математические модели. Чтобы учитывать фактор времени или скорости изменений, используется понятие производной. Если мы включаем производную в уравнение, получаем дифференциальное уравнение. Разберем самые простые виды дифференциальных уравнений "для чайников".
Уравнения вида y' = f(x)
Пусть дифференциальное уравнение имеет вид $y'(x) = f(x)$: слева производная, справа - некоторая функция только от $x$. Оно решается обычным интегрированием обеих частей:
$$y'(x) = f(x),$$ $$y(x) = \int f(x) dx,$$ $$y(x) = F(x)+C.$$ Здесь $F(x)$ - первообразная для $f(x)$, $C$ - произвольная постоянная (константа).Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим второй тип уравнений: $y'(x) = f(x) \cdot g(y)$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенося все с $x$ в одну сторону, а все с $y$ - в другую, мы разделяем переменные. А после этого - снова интегрируем обе части:
$$y'(x) = f(x) \cdot g(y),$$ $$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y),$$ $$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx,$$ $$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx.$$Линейные уравнения первого порядка
Такие дифференциальные уравнения имеют вид: $y' + p(x)y = q(x)$. Они тоже решаются довольно просто, с помощью метода интегрирующего множителя или вариации постоянной, или методом подстановки Бернулли. Объяснение метода потребует отдельной статьи, тут мы его опустим.
Таблица простейших типов ДУ
| Уравнение | Форма | Метод решения |
|---|---|---|
| Простейшее | y′ = f(x) | Интегрирование |
| Разделяющиеся переменные | y′ = f(x)·g(y) | Разделение переменных |
| Линейное первого порядка | y′ + p(x)y = q(x) | Вариация произвольной постоянной |
Есть и более сложные типы ДУ: уравнения второго и выше порядка, системы уравнений, а также уравнения в частных производных. Для последних характерна зависимость функции от нескольких переменных. Пример — уравнение Блека-Шоулса, применяемое в финансах для оценки стоимости опционов.
Применение дифференциального уравнения в экономике
Задача. Функция маржинальной выручки фирмы от объема продаж: $MR = 10 - 0{,}2q$. Найти общую выручку.
Из курса микроэкономики известно, что маржинальная выручка — это производная от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж. Это можно записать как: $$R'(q) = 10 - 0{,}2q, \quad R(0) = 0.$$ Проинтегрируем обе части уравнения: $$R(q) = \int (10 - 0{,}2q)dq = 10q - 0{,}1q^2 + C.$$
Подставим начальное условие: $$R(0) = 0 \Rightarrow C = 0.$$
Ответ: $R(q) = 10q - 0{,}1q^2$. Задача решена.
Как видно, даже простейшие уравнения позволяют решать прикладные задачи в бизнесе и экономике. В будущем такие методы применяются в моделировании затрат, анализа прибыли, оценки рисков и других задачах.
Дифференциальные уравнения — это не только часть высшей математики, но и мощный инструмент для описания и анализа реальных процессов. Освоение базовых типов уравнений — отличный старт для уверенного движения в науке, экономике, инженерии и других областях.