Теория множеств: примеры решений задач

На этой странице вы найдете готовые примеры по двум тесно связанным разделам дискретной математики: элементам теории множеств и бинарным отношениям. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы (множества): задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.

Основные темы (отношения): способы задания отношения (аналитический, прямой, графический), граф и матрица отношения, свойства бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность) и проверка их с помощью матрицы отношения; разбиения и фактор-множества, отношения порядка и диграмма Хассе, функциональные отношения и их свойства.

Задачи с решениями о множествах онлайн

Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества , где - вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

Решение задачи о множествах (pdf, 128 Кб)

Задача 2. Докажите тождество

Доказательство тождества (pdf, 104 Кб)

Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.

Решение задачи на взаимно-однозначное соответствие (pdf, 81 Кб)

Задача 4. М - подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.

Решение задачи методом включений-исключений

Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.

Решение задачи на проверку тождества 2 способами

Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти ..., если
$A$ - множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ - множество делителей числа 28,
$C$ - множество нечетных чисел $X$, таких что $0 \le X \le 7$.

Действия с множествами

Задачи с решениями о бинарных отношениях онлайн

Задача 1. Определите свойства следующих отношений:
1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых)
2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел)
3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел)
4. «x - сестра y» (на множестве людей).

Решение задач о свойствах отношений (pdf, 124 Кб)
Задача 2. Проверить, является ли отношением эквивалентности на множестве всех прямых на плоскости отношение «непересекающихся прямых».

Решение задачи об отношении эквивалентности (pdf, 95 Кб)

Задача 3. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.

Проверка свойств отношения

Задача 4. Дано множество $А = \{ \gt, \lt, \ge, \le\}$. Записать декартовое произведение $А \times А$. Задать 2 бинарных отношения $R_1$ и $R_2$, мощность которых равна 3 и 4 соответственно. Найдите соответствующие замыкания обоих отношений. Изобразите ориентированные графы и запишите матрицы для отношений $R_1$ и $R_2$ и соответствующих замыканий. Вычислите $R_1^{-1}$, $R_2^{-1}$, $R_2 \cdot R_1$. Изобразите соответствующие ориентированные графы и запишите соответствующие матрицы.

Решение задачи о бинарных отношениях

Задача 5. Отношение $R$ на множестве $Х =\{a,b, c, d\}$ задано матрицей.
Каковы свойства отношения $R$? Как выглядят матрицы отношений $R^{-1}$, $R \cdot R$?

Решение задачи о матрице отношения

Задача 6. Дано множество $A = \{1,2,3,4,5\}$ и бинарное отношение $R \subset A \times A$:
Проверить, является ли $R$ отношением эквивалентности. Добавить минимальное возможное число пар, чтобы $R$ стало отношением эквивалентности. Найти разбиение $P$.

Решение задачи об отношении эквавалентности


Решение задач о множествах и отношениях на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств и бинарным отношениям. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Заказать решение задач по теории множеств легко