Главная »» Теория вероятности »» Формулы по теории вероятности

Формулы по теории вероятности

В данном разделе Вы найдете самые важные и часто используемые формулы по теории вероятности и таблицы специальных распределений.

Но только практика даст нужный опыт применения формул по теории вероятностей: когда и как использовать, в какой задаче, какую выбрать. Примеры решений задач по теории вероятностей, которые помогут разобраться, Вы также найдете на сайте МатБюро: Примеры по теории вероятности.

Скачать формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей	Скачать
Основные формулы по теории вероятности (9 страниц, pdf)	237 Кб, Скачать
Таблица значений функции	110 Кб, Скачать
Критические точки распределения	110 Кб, Скачать
Таблица значений функции Лапласа	102 Кб, Скачать
Критические точки распределения Стьюдента	102 Кб, Скачать

Формулы по теории вероятностей

I. Случайные события

1. Основные формулы комбинаторики

а) перестановки .

б) размещения

в) сочетания .

2. Классическое определение вероятности.

, где - число благоприятствующих событию исходов, - число всех элементарных равновозможных исходов.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие ,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие .

5. Формула полной вероятности

, где - полная группа гипотез, то есть , - достоверное событие.

6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

, где - полная группа гипотез.

7. Формула Бернулли

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании.

8. Наивероятнейшее число наступления события.

Наивероятнейшее число появления события при независимых испытаниях:

, - вероятность появления события при одном испытании.

9. Локальная формула Лапласа

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, .

10. Интегральная формула Лапласа

- вероятность появления события не менее и не более раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, .

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности :

.

II. Случайные величины

12. Ряд распределения дискретной случайной величины

			…….
			…….

Сумма вероятностей всегда равна 1.

13. Функция распределения (интегральная функция распределения)

Функция распределения случайной величины определяется по формуле . Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения , то функция распределения выражается как .

14. Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)

Плотность распределения случайной величины определяется по формуле . Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки: (площадь под кривой равна 1).

15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Может быть вычислена двумя способами:

1) через функцию распределения

2) через плотность распределения

16. Математическое ожидание случайной величины

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:

1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения :

.

17. Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент: .

1) Для дискретной случайной величины , заданной рядом распределения:

1) Для непрерывной случайной величины , заданной плотностью распределения :

18. Среднее квадратическое отклонение случайной величины

19. Начальный момент r–го порядка случайной величины

.

В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание:

20. Центральный момент r – го порядка случайной величины

В частности, второй центральный момент – это дисперсия: .

21. Асимметрия

Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

22. Эксцесс

Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

III. Распределения случайных величин

21. Биномиальное распределение (дискретное)

- количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .

Закон распределения имеет вид:

	0	1	…..	k	…..

Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .

Характеристики: , ,

Примеры многоугольников распределения для и различных вероятностей:

22. Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения:

	0	1	…..	k	…..
			…..		…..

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: .

Числовые характеристики: , ,

Разные многоугольники распределения при .

23. Показательное распределение (непрерывное)

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Плотность распределения:

Где _.

Числовые характеристики: , ,

Плотность распределения при различных значениях _.

24. Равномерное распределение (непрерывное)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения:

Числовые характеристики: , ,

График плотности вероятностей:

25. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения:

Числовые характеристики: , ,

Пример плотности распределения:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.

Функция Лапласа .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).

.

IV. Другие формулы

26. Неравенство Чебышева

27. Неравенство Маркова

28. Математическое ожидание функции одной случайной величины

29. Корреляционный момент системы случайных величин и

30. Коэффициент корреляции системы случайных величин и

31. Пуассоновский поток событий

К началу страницы