Решение задач про вероятность выигрыша по лотерейным билетам

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Общая постановка задачи следующая:

Куплено $n$ лотерейных билетов. Вероятность выигрыша для каждого билета одинакова и равна $p$ (проигрыша - $q=1-p$). Найти вероятность того, что окажется ровно $k$ выигрышных билетов (и соответственно, $n-k$ безвыигрышных билетов).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}. \qquad (1) $$

Здесь $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$.



Примеры решений задач о покупке лотерейных билетов

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность того, что на один лотерейный билет выпадет выигрыш, равна 0,2. Куплено 5 билетов. Найти вероятность того, что выиграют 2 билета.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (покупках билетов), всего куплено $n=5$ билетов, вероятность выигрыша $p=0,2$, вероятность проигрыша $q=1-p=1-0,2=0,8$. Нужно найти, что будет ровно $k=2$ выигрышных билета. Подставляем все в формулу (1) и получаем: $$ P_5(2)=C_{5}^2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^3 = 10\cdot 0,2^2 \cdot 0,8^3= 0,205. $$

Пример 2. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Вы купили 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные

а) Разберем первый случай. Получаем параметры: $n=8$, $p=0,3$, $k \ge 1$. Используем формулу для вероятности противоположного события (нет выигрыша ни по одному билету):

$$ P_8(k \ge 1) = 1-P_8(k \lt 1) = 1-P_8(0)= $$ $$ =1-C_{8}^0 \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^8 =1- 0,7^8=1- 0,058=0,942. $$

Вероятность выиграть хотя бы по одному билету из 8 купленных равна 0,942 или 94,2%.

б) Разберем второй случай. Получаем параметры: $n=8$, $p=0,3$, $k \lt 3$.

$$ P_8(k \lt 3) = P_8(0)+P_8(1)+P_8(2)= $$ $$ =C_{8}^0 \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^8 +C_{8}^1 \cdot 0,3^1 \cdot 0,7^7+C_{8}^2 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^6= $$ $$ =0,7^8 +8 \cdot 0,3 \cdot 0,7^7+28 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^6=0,552. $$

Ответ: а) 0,942; б) 0,552.

Пример 3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?

Введем исходное событие:
$A = $ (По крайней мере, один из четырех билетов выиграет),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$\overline{A} = $ (Все 4 билета будут без выигрыша).

Будем искать вероятность события $\overline{A}$. Выпишем значения параметров: $n=4$, $p=0,15$, $k =0$. Подставляем в формулу (1) и получаем:

$$ P(\overline{A})=P_4(0)=C_{4}^0 \cdot 0,15^0 \cdot 0,85^4=0,85^4=0,522. $$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышный билет), равна:

$$ P(A)= 1 - P(\overline{A})= 1- 0,522 = 0,478. $$
Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Поищите готовые задачи в решебнике: