Решение задач про билеты лотереи

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

После разобранных вероятностных задач на выбор шаров из урны и деталей из ящика, перейдем к еще одной популярной задаче на гипергеометрическую вероятность - задаче о покупке лотерейных билетов. Общая постановка задачи следующая:

В лотерее из $N$ билетов $K$ выигрышные и $N-K$ - билеты без выигрыша. Куплено $n$ лотерейных билетов. Найти вероятность того, что из них ровно $k$ выигрышных (соответственно, $n-k$ безвыигрышных) билетов.

вероятность выбора выигрышных лотерейных билетов

Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ билетов из общего числа $N$ продающихся билетов (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ выигрышных билетов из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ невыигрышных билетов из $N-K$ возможных - $C_{N-K}^{n-k}$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}$.

Применяя классическое определение вероятности, то есть поделив число благоприятствующих событию исходов на общее число исходов испытания (покупки билетов), придем к искомой формуле:

$$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$

Примеры решений задач о покупке лотерейных билетов

Пример 1. Среди 100 лотерейных билетов 2 выигрышных. Вы покупаете 3 билета. Какова вероятность, что вы ничего не выиграете?

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из купленных 3 билетов ни один не выиграет) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе элементов из некоторого множества, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 3 билета из 100 возможных. Так как порядок выбора несущественнен, используем формулу сочетаний из 100 элементов по 3: $n=C_{100}^3$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих нашему событию исходов. Для этого нужно, чтобы из все 3 билета были без выигрыша. Всего таких билетов $100-2=98$, значит способов выбора $m = C_{98}^3$.

Искомая вероятность:

$$ P(A)=\frac{m}{n}=\frac{C_{98}^3}{C_{100}^3} = \frac{152096}{161700} = 0.941. $$

Вероятность остаться без выигрыша велика - 94,1% (при этом куплен не один, а целых 3 билета). Впрочем, любая лотерея заведома проигрышна для участника, помните об этом. Не стоит искать схемы и правила выигрыша в лотерею. Их не существует.

Пример 2. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того что среди них 2 выигрышных.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=4$ выигрышных билета, $N-K=8-4=4$ невыигрышных билета, всего $N=8$ билетов. Выбираем $n=5$ билетов, из них должно быть $k=2$ выигрышных и соответственно, $n-k=5-2=3$ без выигрыша. Получаем нужную вероятность:

$$ P=\frac{C_{4}^2 \cdot C_{4}^{3}}{C_{8}^5} = \frac{6 \cdot 4}{56} = 0.429. $$

Пример 3. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных и 14 пустых. Найти вероятность того, что из трех вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным.

Введем исходное событие:
$A = $ (Среди 3 вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$\overline{A} = $ (Все три выбранные билеты будут без выигрыша).

Будем искать вероятность события $\overline{A}$. Выпишем значения параметров: $K=10$ выигрышных билетов, $N-K=14$ невыигрышных (пустых) билета, всего $N=24$ билета. Выбираем $n=3$ билета, из них должно быть $k=0$ выигрышных и соответственно, $n-k=3$ без выигрыша. Подставляем в формулу (1) и получаем:

$$ P(\overline{A})=\frac{C_{10}^0 \cdot C_{14}^{3}}{C_{24}^3} = \frac{1 \cdot 364}{2024}= 0.18. $$

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышных билет), равна:

$$ P(A)= 1 - P(\overline{A})= 1- 0.18 = 0.82. $$

Пример 4. В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Какова вероятность остаться без выигрыша, приобретя 3 билета лотереи?

Подставляем в формулу (1) значения: $K=25$ выигрышных билетов, $N-K=100-25=75$ невыигрышных билета, всего $N=100$ билетов участвует в розыгрыше лотереи. Выбираем $n=3$ билета, из них должно быть $k=0$ выигрышных и соответственно, $n-k=3$ без выигрыша. Приходим к ответу:

$$ P=\frac{C_{25}^0 \cdot C_{75}^{3}}{C_{100}^3} = \frac{1 \cdot 67525}{161700} = 0.418. $$
Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Поищите готовые задачи в решебнике: