Решение задач про вероятность рождения мальчиков

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Конечно, теория вероятности не может дать ответ на сакральный вопрос "Кто родится, мальчик или девочка?" (равно как и на не менее популярный вопрос "Как выиграть в лотерею?"), тут придется положиться на природу/случай. А мы рассмотрим простую учебную задачу:

Вероятность рождения мальчика примерно равна $p$. В семье $n$ детей. Найти вероятность того, что из них ровно $k$ мальчиков (соответственно, $n-k$ девочек).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}. \qquad (1) $$

Здесь $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$.



Примеры решений задач о рождении мальчиков и девочек

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди них три мальчика. Вероятность рождения мальчика равна 0,5.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (рождениях детей), всего родилось $n=5$ детей, вероятность того, что родился мальчик $p=0,5$, вероятность рождения девочки $q=1-p=1-0,5=0,5$. Нужно найти, что будет ровно $k=3$ мальчика. Подставляем все в формулу (1) и получаем: $$ P_5(3)=C_{5}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^2 = 10\cdot 0,5^5 = 0,313. $$


Пример 2. Вероятность того, что родившийся ребенок – мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье из шести детей: одна или две девочки.

Формализуем задачу, выписываем параметры: $n=6$ (детей), $p=0,51$ (вероятность рождения мальчика), $k =5$ или $k =4$ (будет 1 девочка и 5 мальчиков, или 2 девочки и 4 мальчика). Получаем:

$$ P=P_6(4)+P_6(5) =C_{6}^4 \cdot 0,51^4 \cdot 0,49^2+C_{6}^5 \cdot 0,51^5 \cdot 0,49^1=\\ =15 \cdot 0,51^4 \cdot 0,49^2+6 \cdot 0,51^5 \cdot 0,49^1=0,345. $$

Пример 3. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков.

В семье $n=10$ детей, вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, то есть $p=q=0,5$. Найдем вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков, то есть 0, 1, 2 или 3 мальчика. Сначала найдем эти вероятности отдельно по формуле (1) каждую:

$$ P_{10}(0)=C_{10}^0 \cdot 0,5^0\cdot 0,5^{10} = 0,001. $$ $$ P_{10}(1)=C_{10}^1 \cdot 0,5^1\cdot 0,5^{9} = 0,01. $$ $$ P_{10}(2)=C_{10}^2 \cdot 0,5^2\cdot 0,5^{8} = 0,044. $$ $$ P_{10}(3)=C_{10}^3 \cdot 0,5^3\cdot 0,5^{7} = 0,117. $$

Так как события несовместные, нужная вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей: $$ P_{10}(0 \le k \le 3 )=P_{10}(0)+P_{10}(1)+P_{10}(2)+P_{10}(3)=\\ = 0,001+0,01+0,044+0,117=0,172.$$


Пример 4. Вероятность рождения мальчика и девочки одинаковы. Какова вероятность, что среди 6 наудачу отобранных новорожденных число мальчиков и девочек одинаково.

Выписываем из условия задачи значения переменных: $n=6$ (количество детей), $p=q=0,5$ (вероятность рождения мальчика и девочки одинаково), $k =n/2=3$ (родится 3 девочки и 3 мальчика, поровну). Получаем:

$$ P_6(3) =C_{6}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^3= 20 \cdot 0,5^6 =0,313. $$
Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Найдите готовые задачи в решебнике: