МатБюро Статьи по теории вероятностей Выстрелы и попадания в теории вероятностей

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

стрелок попадает в цель с вероятностью

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.

Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач - использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А после примеров вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик!

Далее:

Два стрелка

Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй - с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$.

Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).
Соответственно, события $\overline{A_1}$, $\overline{A_2}$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).
Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше): $$ P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P\left(\overline{A_1}\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline{A_2}\right)=1-p_2=q_2. $$

Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $\overline{A_1}$ и $\overline{A_2}$, что можно записать как произведение событий: $X=\overline{A_1} \cdot \overline{A_2}$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или: $$ P(X)=P\left(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2}\right)= P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P\left(\overline{A_2}\right) = q_1 \cdot q_2. \qquad (1) $$

Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline{A_2}$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline{A_2}$.
2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $\overline{A_1}$), то есть получили произведение событий $\overline{A_1} \cdot A_2$.
Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта - несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий: $$ P(Y) = P\left(A_1 \cdot \overline{A_2} + \overline{A_1} \cdot A_2\right)= P\left(A_1 \cdot \overline{A_2} \right)+ P\left( \overline{A_1} \cdot A_2\right) = $$ дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки: $$ = P(A_1) \cdot \left(\overline{A_2} \right) + P\left( \overline{A_1} \right) \cdot P(A_2) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2. $$ Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель: $$ P(Y) = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2. \qquad (2) $$

Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения.

Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 \cdot A_2$. Итоговая формула: $$ P(Z) = P(A_1 \cdot A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)= p_1 \cdot p_2. \qquad (3) $$

Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки.

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго - 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем: $$ P = p_1 \cdot q_2 + q_1 \cdot p_2 = 0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 = 0,46.$$

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ: $$ P = p_1 \cdot p_2=0,7 \cdot 0,8 = 0,56. $$

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу "хотя бы один..." мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $\overline{Q}$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше: $$ P(\overline{Q}) = q_1 \cdot q_2= (1-0,3) \cdot (1-0,4) =0,7 \cdot 0,6 = 0,42. $$ Вероятность нужного нам события тогда равна: $$ P(Q) = 1- P(\overline{Q}) = 1 - 0,42 = 0,58. $$

Три стрелка

три попадания в цель. найдем вероятность

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача - вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Начало одинаковое - формализуем задачу и вводим независимые события:
Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),
Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),
Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).
Известно, что: $$ P(A_1)=p_1, \quad P(A_2)=p_2, \quad P(A_3)=p_3, \\ P\left(\overline{A_1}\right)=1-p_1=q_1, \quad P\left(\overline{A_2}\right)=1-p_2=q_2, \quad P\left(\overline{A_3}\right)=1-p_3=q_3. $$

Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться: $$ P_0=P\left(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}\right)= P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P\left(\overline{A_2}\right) \cdot P\left(\overline{A_3}\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. \qquad (4) $$

Найдем вероятность события $X_1$ = (Из трех стрелков в цель попал только один). Опять таки, когда может произойти это событие? Опишем словами возможные ситуации:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$), и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $\overline{A_2}$) и третий стрелок промахнется (событие $\overline{A_3}$), то есть получили произведение событий $A_1 \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}$.
2. Второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$), а первый и третий промахнутся, то есть $\overline{A_1} \cdot A_2 \cdot \overline{A_3}$
3. Третий стрелок попадет в цель (событие $A_3$), а первый и второй промахнутся, то есть $\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot A_3$

Итого событие можно представить как сумму этих трех несовместных сложных событий: $$ X_1= A_1 \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3} + \overline{A_1} \cdot A_2 \cdot \overline{A_3} + \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot A_3. $$ Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, придем к итоговой формуле: $$ P_1 = P(X_1)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1}\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P\left(\overline{A_1} \right) \cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3. \qquad (5) $$

Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже: $$ P_2 = P(X_2)= \\ = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline{A_3} \right) + P(A_1)\cdot P\left(\overline{A_2} \right) \cdot P(A_3) + P\left(\overline{A_1} \right) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (6) $$ $$ P_3 = P(X_3)= P(A_3) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. \qquad (7) $$

Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше).

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,2, \quad p_2=0,3, \quad p_3=0,4, \quad q_1=0,8, \quad q_2=0,7, \quad q_3=0,6 $$ Получаем: $$ P_1 = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3=\\ = 0,2 \cdot 0,7\cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,452. $$

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,5, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,5 $$ Получаем: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = \\ = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,5 + 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,5 = 0,47. $$

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $\overline{A}$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения: $$ p_1=0,8, \quad p_2=0,7, \quad p_3=0,9, \quad q_1=0,2, \quad q_2=0,3, \quad q_3=0,1 $$ Получаем: $$ P\left(\overline{A} \right) = P_0 = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,1 = 0,006. $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - P\left(\overline{A} \right) = 1 - 0,006 = 0,994. $$

Другие задачи про выстрелы и попадания

теория вероятностей. задачи про выстрелы

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.

Пример 7. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события $A$ = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие $\overline{A}$ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель как $p=0,7$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p=0,3$, то вероятность всех пяти промахов будет $$ P\left(\overline{A} \right) = q^5 = 0,3^5. $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - P\left(\overline{A} \right) = 1 - 0,3^5 = 0,998. $$

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений: $$ P_2 = p_1 \cdot p_2 = 0,42;\\ P_0 = (1-p_1) \cdot (1-p_2) = 0,12.\\ $$ Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).

Пример 9. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах - $1-q^4$. Получаем уравнение: $$ 1-q^4=0,9984;\\ q^4=0,0016;\\ q=0,2;\\ p=1-q=0,8. $$ Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 10. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей $$ P = p_1 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_2 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,7 = 0,3136. $$


Онлайн решение задачи про попадание в цель

Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель - точка):

2 стрелка 3 стрелка



Полезная информация

Еще информация:

В решебнике вы найдете более 700 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):