Калькулятор для суммы и произведения событий
На этой странице мы приведем наиболее часто встречаемые формулы для расчета вероятности в задачах, где речь идет об одновременном наступлении (или ненаступлении) нескольких независимых событий (как вычислить вероятность настпления события см. например в разделе о классической и геометрической вероятности в учебнике).
Вводные формулы
Первые две формулы, которые необходимо вспомнить (они будут использованы ниже):
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
$$P(A+B)=P(A)+P(B).$$Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
$$P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B).$$Подробнее о сложении и умножении вероятностей
Два независимых события: формулы
Пусть производятся два испытания, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторые независимые события. Например, два стрелка делают по выстрелу в мишень и попадают/промахиваются, два станка ломаются/работают, два студента приходят вовремя/опаздывают и т.п.
Введем стандартные обозназначения: $A_1, A_2$ - события, $p_1=P(A_1)$, $p_2=P(A_2)$ - вероятности их наступления, $q_1=1-p_1$, $q_2=1-p_2$ - вероятности их ненаступления.
Тогда вероятность того, что оба события не наступят, равна
$$ P_0=P\left(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\right) =P \left(\overline{A_1}\right)\cdot P \left(\overline{A_2}\right) = (1-p_1)\cdot(1-p_2)=q_1 \cdot q_2. $$Найдем вероятность того, что наступит только одно событие, то есть или произойдет $A_1$ и не произойдет $A_2$, или произойдет $A_2$ и не произойдет $A_1$. Так как это несовместные события, получаем по формуле сложения вероятностей:
$$ P_1=P\left(A_1\cdot\overline{A_2}+\overline{A_1}\cdot A_2\right) =P \left(A_1 \cdot \overline{A_2}\right)+ P \left(\overline{A_1}\cdot A_2\right) =\\ = p_1\cdot(1-p_2)+(1-p_1)\cdot p_2=p_1 \cdot q_2 +q_1\cdot p_2. $$Наконец, самая простая вероятность, что произойдут оба события:
$$ P_2=P\left(A_1\cdot A_2\right) =P (A_1)\cdot P (A_2) = p_1 \cdot p_2. $$Вероятность, что наступит хотя бы одно событие из двух, можно найти как
$$ 1-P_0=1-q_1 \cdot q_2 $$См. обучающую статью про "хотя бы один..."
Два независимых события: онлайн калькулятор
Укажите вероятности наступления событий:Два независимых события: примеры решений
Пример 1. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелком соответственно равны 1/8 и 1/6 соответственно. Найти вероятность поражения цели при залпе.
Введём событие A, состоящее в том, что цель будет поражена. По условию задачи $p_1=1/8$ и $p_2=1/6$ - вероятности поражения цели первым и вторым стрелками соответственно. Тогда $q_1=1-p_1=7/8$ и $q_2=1-p_2=5/6$ - вероятности промаха по цели для первого и второго стрелков соответственно.
Найдем вероятность поражения цели при залпе, то есть того, что хотя бы один из стрелков попал в цель:
$$P(A)=1-q_1 \cdot q_2 = 1-\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6}= 1-\frac{35}{48} = \frac{13}{48}$$Ответ: 13/48.
Пример 2. На первой полке стоят 25 книг по математике, из них 10 учебников, на второй полке 10 книг, по физике из них 3 учебников, с обеих полок наугад берут по одной книге. Чему равна вероятность того, что обе книги будут учебником?
Введем событие $X$ = (Обе вынутые книги оказались учебниками). Введем дополнительно независимые события:
$A_1$= (С первой полки достали учебник), $A_2$ = (С второй полки достали учебник).
Найдем вероятности этих событий по классическому определению вероятностей (отношение количества учебников к общему числу книг на полке):
$$ P(A_1)=\frac{10}{25}=0,4; P(A_2)=\frac{3}{10}=0,3. $$Событие можно представить как произведение событий: $X=A_1 \cdot A_2$. Тогда, так как события независимы, можно вычислить вероятность по формуле умножения вероятностей:
$$ P(X)=P(A_1) \cdot P(A_2)=0,4\cdot 0,3=0,12. $$Ответ: 0,12.
Три независимых события: формулы
Пусть теперь производятся три испытания, в каждом из которых могут произойти или не произойти некоторые независимые события $A_1, A_2, A_3$. Как и ранее, обозначим $p_i=P(A_i)$, $q_i=1-p_i$, $i=1,2,3$.
Тогда вероятность того, что все три события не наступят, равна:
$$ P_0=P\left(\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\right) =P \left(\overline{A_1}\right)\cdot P \left(\overline{A_2}\right) \cdot P \left(\overline{A_3}\right)=\\ = (1-p_1)\cdot(1-p_2)\cdot(1-p_3)=q_1 \cdot q_2 \cdot q_3. $$Найдем вероятность того, что наступит только одно событие, то есть
или произойдет $A_1$ и не произойдут $A_2$, $A_3$,
или произойдет $A_2$ и не произойдут $A_1$, $A_3$,
или произойдет $A_3$ и не произойдут $A_1$, $A_2$.
Так как это несовместные события, получаем:
Выпишем вероятность того, что наступят в точности два события, то есть
или не произойдет $A_1$ и произойдут $A_2$, $A_3$,
или не произойдет $A_2$ и произойдут $A_1$, $A_3$,
или не произойдет $A_3$ и произойдут $A_1$, $A_2$.
Вероятность, что произойдут все три события:
$$ P_3=P\left(A_1\cdot A_2 \cdot A_3\right) =P (A_1)\cdot P (A_2)\cdot P (A_3) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3. $$Вероятность, что наступит хотя бы одно событие из трех, можно найти как
$$ 1-P_0=1-q_1 \cdot q_2\cdot q_3. $$Три независимых события: онлайн калькулятор
Укажите вероятности наступления событий:Три независимых события: примеры решений
Пример 3. Три стрелка стреляют в одну мишень. Известно, что вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Определить вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех трех стрелков в мишени будет: а) одна пробоина; б) не менее одной пробоины.
Введём следующие события:
$A$ - в результате одновременного выстрела всех трех стрелков в мишени будет одна пробоина;
$B$ - в результате одновременного выстрела всех трех стрелков в мишени будет не менее одной пробоины;
$\overline{B}$ - в результате одновременного выстрела всех трех стрелков в мишени не будет пробоин.
По условию задачи $p_1=0,5, p_2=0,3, p_3=0,4$, где $p_i$ - вероятности попадания в цель при одном выстреле для $i$-ого стрелка. Тогда соответствующие вероятности промахов равны $q_1=1-p_1=0,5$, $q_2=1-p_2=0,7$ и $q_3=1-p_3=0,6$.
Используя формулу (см. вероятность наступления ровно одного события - одна пробоина):
$$ P(A)=P_1= p_1\cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3+ q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\= 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,6 + 0,5\cdot 0,3\cdot 0,6 + 0,5\cdot 0,7\cdot 0,4=0,44. $$Вероятность того, что пробоин не будет, равна
$$ P(\overline{B})=P_0=q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,6=0,21. $$Тогда по формуле вероятности противоположного события:
$$ P(B)=1-P(\overline{B})=1-0,21=0,79. $$Ответ: а) 0,44; б) 0,79.
Как решать задачи про стрелков?
Пример 4. На аукцион выставлены акции трёх компаний. Вероятность того, что будет продан пакет акций первой компании 0,7, для второй 0,9, для третьей 0,8. Найти вероятность того, что в результате торгов будут проданы пакеты акций ровно 2 компаний.
Пусть $A_i$ - событие, состоящее в продаже пакета акций $i$-ой компании. По условию известно, что $P(A_1)=p_1=0,7$, $P(A_2)=p_2=0,9$, $P(A_3)=p_3=0,8$.
Вероятность того, что в результате торгов будут проданы пакеты акций ровно 2 компаний найдем по формуле:
$$ P_2= q_1\cdot p_2 \cdot p_3 + p_1 \cdot q_2 \cdot p_3+ p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = \\= 0,3 \cdot 0,9 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,1 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,9 \cdot 0,2=0,398 $$Ответ: 0,398.
Еще по теме
Другие полезные статьи и калькуляторы по теории вероятностей:
