Примеры решений задач: Ряды

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач на тему Ряды: нахождение суммы ряда, исследование числовых рядов на сходимость, нахождение области сходимости степенных рядов, разложение функций в ряд, решение дифференциальных уравнений с помощью рядов, вычисление определенных интегралов с помощью рядов.

Трудности с задачами? МатБюро поможет вам: контрольные работы по рядам.

Решения задач онлайн: ряды, сходимость и разложения

Задача 1. Исходя из определения найти сумму ряда $$ S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2+6n+8}$$

Решение: нахождение суммы ряда (pdf, 36 Кб)

Задача 2. Найти область сходимости указанного ряда. Ответ записать в виде промежутков и их объединений $$\sum_{n=1}^{\infty}8^nx^{3n}\sin(x/n).$$

Решение на поиск области сходимости ряда (pdf, 46 Кб)

Задача 3. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям $$ y''=x^2y-y^2, \quad y(0)=1, \ y'(0)=0$$

Решение задачи Коши с помощью ряда (pdf, 43 Кб)

Задача 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав почленно $$ \int\limits_0^{0,25} \frac{\sin x}{x}\, dx $$

Вычисление интеграла с помощью ряда (pdf, 40 Кб)

Задача 5. Исследовать сходимость числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{\sqrt{n 2^n}}.$$

Исследование сходимости ряда (pdf, 109 Кб)

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2 n}{n^2 +1}.$$

Решение на сходимость ряда (pdf, 108 Кб)

Задача 7. Разложить в ряд по степеням $x$ (с указанием области сходимости ряда) $y=e^x \cos(x)$.

Разложение функции в степенной ряд (pdf, 118 Кб)

Задача 8. Используя ряд Маклорена для функции, выразить величину $A=\sqrt[3]{36}$ в виде сходящегося ряда. Найти приближенное значение этой величины, ограничиваясь двумя первыми членами ряда. Оценить погрешность.

Вычисление с помощью разложения в ряд (pdf, 129 Кб)

Задача 9. Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-5)\ln^2 (4n-7)}.$$

Решение: исследование сходимости (pdf, 113 Кб)

Не дается исследование ряда? Решим быстро и недорого!