Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать - это существенная часть работы.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам - изучайте, ищите похожие, решайте свои. Если вам нужна помощь в выполнении заданий, перейдите в раздел: контрольные по дифференциальным уравнениям

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Проверка решения (pdf, 40 Кб)

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решение, семейство кривых (pdf, 38 Кб)

Решения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy'+x^2+xy-y=0.$

Решение ЛДУ (pdf, 43 Кб)

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y'=-y/x \quad (x \ne 0).$

Решение однородного ДУ (pdf, 35 Кб)

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Посмотреть решение (pdf, 40 Кб)

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Скачать решение (pdf, 40 Кб)

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y'-2xy=3x^2-2x^4.$

Решение линейного ДУ (pdf, 40 Кб)

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y'=y-1.$

Решение со сменой функции (pdf, 39 Кб)

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Подробное решение задачи Коши (pdf, 37 Кб)

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y'' +1 =(y')^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Решение задачи Коши для ДУ 2 порядка (pdf, 39 Кб)

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y'= \frac{2y-x}{2x+y}, y(1)=1. $$

Решение задачи Коши для однородного уравнения (pdf, 34 Кб)

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y'''=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=0. $$

Решение задачи Коши для ДУ 3 порядка (pdf, 38 Кб)



Решаем дифференциальные уравнения на заказ

Решения дифференциальных уравнений второго порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y''+4y'+4y=xe^{2x}.$

Решение ДУ 2 порядка (pdf, 43 Кб)

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y''-3y'=\frac{9e^{-3x}}{3+e^{-3x}}, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Решение ДУ методом вариации постоянных (pdf, 57 Кб)

Решения задач на составление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Решение задачи про остывание тела (pdf, 49 Кб)

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решение задачи про скорость лодки (pdf, 50 Кб)

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 {y'}^2 -2xyy'+2y^2-x^2=0.$

Скачать решение (pdf, 35 Кб)

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение ${y'}^2-4xyy'+8y^2=0.$

Решение нелинейного ДУ (pdf, 41 Кб)

Дополнительная информация