Примеры решений задач с помощью интегралов

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач на тему Применение определенных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения, поверхности тела вращения для функций и областей, заданных различным образом. Начальные примеры на нахождение интегралов см. в другом разделе Задачи по интегралам с решениями.

Трудности с задачами? МатБюро поможет: контрольные по интегралам.

Вычисление площади плоской фигуры: примеры онлайн

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $$ y^2=x, x^2=2x, 2y=x. $$

Решение: площадь плоской фигуры (pdf, 35 Кб)

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между графиками функций: $$y=2\sqrt[3]{x}, y=\sqrt[3]{x^2}.$$

Вычисление площади фигуры (pdf, 38 Кб)

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $$ \rho=4\cos 2\varphi, \rho=2, \rho \geq 2. $$

Вычисление площади в полярных координатах (pdf, 40 Кб)

Задача 4. Найти площадь петли кривой $$x=\cos^3 t, y=\sin^3 t.$$

Вычисление площади в параметрических координатах (pdf, 32 Кб)

Решения задач: площадь поверхности, объем тела вращения

Задача 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой $ y^2=\frac{x}{9a}(3a-x)^2$ вокруг оси $OX$, $a>0$.

Вычисление площади поверхности вращения (pdf, 39 Кб)

Задача 6. На координатной плоскости $XOY$ построить площадь, ограниченную линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 4x - 2x^2$ , и найти объем тела, образованного вращением этой площади вокруг оси $OX$.

Решение на нахождение объема тела вращения (pdf, 43 Кб)

Задача 7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигур, ограниченных линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = 0$.

Вычисление объема тела вращения (pdf, 33 Кб)

Решения задач онлайн: нахождение длины дуги кривой

Задача 8. Найти длину дуги кривой $l$. $$ y=\frac{x^2}{4}-\frac{\ln x}{2}, 1\leq x \leq 2. $$

Решение на вычисление длины дуги (pdf, 30 Кб)

Задача 9. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: $$ x=3(1-\cos t)\cos t, \quad y=3(1-\cos t)\sin t, \quad 0\leq t \leq \pi. $$

Вычисление длины дуги кривой (pdf, 29 Кб)

Задача 10. Найти длину дуги кривой. $$ \rho=2\varphi, \quad 0 \leq \varphi \leq 1. $$

Длина дуги в полярных координатах: решение (pdf, 31 Кб)

Задача не поддается? Решим быстро и качественно!