Учебник по теории вероятностей

1.8. Наивероятнейшее число успехов

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события $А$ наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов $k$ (появлений события) имеет вид:

$$ np-q \le k \le np+p, \quad q=1-p. $$

Так как $np-q = np+p-1$, то эти границы отличаются на 1. Поэтому $k$, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда $np$ целое число ($k=np$) , то есть когда $np+p$ (а отсюда и $np-q$) нецелое число, либо два значения, когда $np-q$ целое число.

Это удобно! Вы можете использовать онлайн-калькулятор для расчета наиболее вероятного значения.

Примеры решений задач на наиболее вероятное число успехов

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали через , будем иметь и (получение бракованной детали и получение исправной детали — события противоположные). Так как здесь n=39, то искомое число можно найти из неравенств:

Отсюда наивероятнейшее число исправных деталей равно 36 или 37.

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов $k$ позволяют решить и обратную задачу: по данному $k$ и известному значению $р$ определить общее число $n$ всех испытаний.

Пример. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле составляет 0,7?

Решение. Здесь .

Составляем неравенства

,

откуда

и

Таким образом, число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.



Вы можете заказать задачи по теории вероятности