Решение задач про выбор шаров из урны

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.

вероятность выбора шаров из урны, черные и белые шары

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):

$$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$

*Поясню, что значит "примерно": шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "белыми шарами", второй - "черными шарами" и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).



Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

$$ P=\frac{C_{10}^2 \cdot C_{8}^{3}}{C_{18}^5} = \frac{45 \cdot 56}{8568} = \frac{5}{17} = 0.294. $$

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

$$ P=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^2} = \frac{10 \cdot 1}{45} = \frac{2}{9} = 0.222. $$

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине). Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

$$ P(A_1)=\frac{C_{4}^2 \cdot C_{2}^{0}}{C_{6}^2} = \frac{6 \cdot 1}{15} = \frac{2}{5} = 0.4. $$

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

$$ P(A_2)=\frac{C_{4}^0 \cdot C_{2}^{2}}{C_{6}^2} = \frac{1 \cdot 1}{15} = \frac{1}{15}. $$

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac{2}{5} + \frac{1}{15} =\frac{7}{15} = 0.467. $$
Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Поищите готовые задачи в решебнике: