Решение задач про шахматные партии

Спасибо, что читаете и делитесь с другими
найти вероятность выигрыша в шахматных партиях

Чаще всего в задаче про партии следует вычислить две вероятности и сравнить:

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6 (ничьи во внимание не принимаются).

Пример подробного решения этой и подобных задач будет ниже, а формулу мы запишем для упрощенной задачи (когда нужно просто найти вероятность того, что будет выиграно $k$ партий):

Два равносильных шахматиста играют в шахматы $n$ партий. Какова вероятность первому шахматисту выиграть в точности $k$ партий (ничьи не учитываются).

Так как шахматисты по условию равносильные, а ничьи не учитываются, считаем, что выигрыш и проигрыш может наступить с равной вероятностью. Поэтому $p=q=1/2=0,5$, $q=1-p=1/2=0,5$. Применяем формулу Бернулли и получаем:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k \cdot 0,5^{n}. \qquad (1) $$

Примеры решений задач о шахматных партиях

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6 (ничьи во внимание не принимаются).

Нужно вычислить две вероятности, для каждой из которых применяем формулу (1). В первом случае $n=4, k=2$, во втором - $n=6, k=3$. Получаем: $$ P_1=P_4(2)=C_{4}^2 \cdot 0,5^4 = 6\cdot 0,5^4= 0,375. $$ $$ P_2=P_6(3)=C_{6}^3 \cdot 0,5^6 = 20\cdot 0,5^6= 0,313. $$ Число 0,375 больше, чем 0,313. Поэтому вероятнее выиграть 2 партии из 4.


Пример 2. Играет два равных по силе игрока, какая вероятность выше: выиграть одну партию из трех, или три из пяти.

Нужно вычислить две вероятности, для каждой из которых применяем формулу (1). В первом случае $n=3, k=1$, во втором - $n=5, k=3$. Получаем: $$ P_1=P_3(1)=C_{3}^1 \cdot 0,5^3 = 3\cdot 0,5^3= 0,375. $$ $$ P_2=P_5(3)=C_{5}^3 \cdot 0,5^5 = 10\cdot 0,5^5= 0,313. $$ Так как 0,375 больше, чем 0,313, вероятнее выиграть 1 партию из 3.


Пример 3. Играют равносильные противники. Что вероятнее: выиграть не менее трех партий из четырех или не менее шести из восьми? (Ничьи не учитываются)

В отличие от предыдущих задач, здесь нужно найти вероятность того, что число выигрышных партий будет находится в некотором интервале (а не равно в точности какому-то числу). Но формула используется по-прежнему таже самая.

Найдем вероятность выиграть не менее трех партий из четырех, то есть вероятность выиграть или три партии, или четыре партии. Данные вероятности равны по формуле (1):

$$ P_4(3)=C_{4}^3 \cdot 0,5^4 = 4\cdot 0,5^4= 0,25. $$ $$ P_4(4)=C_{4}^4 \cdot 0,5^4 = 1\cdot 0,5^4= 0,0625. $$

Так как события (выиграть 3 партии из 4) и (выиграть 4 партии из 4) несовместные, искомая вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей: $P_1=P_4(3)+P_4(4)=0,3125.$

Аналогично находим вторую вероятность выиграть не менее 6 партий из 8 (то есть выиграть или 6, или 7, или 8 партий). В этот раз все вычисления запишем сразу в одну формулу:

$$ P_2=P_8(6)+P_8(7)+P_8(8)=C_{8}^6 \cdot 0,5^8+C_{8}^7 \cdot 0,5^8+C_{8}^8 \cdot 0,5^8 = $$ $$ =28 \cdot 0,5^8+8 \cdot 0,5^8+1 \cdot 0,5^8 =0,145. $$

Итак, вероятнее выиграть не менее 3 партий из 4 (так как 0,3125 больше чем 0,145).


Пример 4. Какова вероятность, что игрок, который слабее своего оппонента в два раза выиграет две партии из трех

Для полноты изложения приведу решение этой задачи, с первого взгляда она похожа на предыдущие (и так и есть, конечно), но есть некоторое отличие. А именно, противники тут не равносильные, а один слабее другого. С точки зрения формализации задачи, это будет означать, что вероятность выигрыша для игрока равна не 0,5, а другому числу. Какому?

Пусть вероятность выигрыша для игрока равна $p$, тогда для второго игрока (который по условию в 2 раза его сильнее), она равна $2p$. При этом, раз ничьи не учитываются (это стандартное предположение), должно выполняться равенство: $p+2p=1$, откуда находим $p=1/3$.

А дальше остается только применить формулу Бернулли для $n=3$, $k=2$, $p=1/3$. Получаем

$$ P_3(2)=C_{3}^2 \cdot (1/3)^2 \cdot (2/3)^1= 3\cdot (1/3)^2 \cdot (2/3) = 2/9= 0,222. $$

Ответ: 0,222.

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Найдите готовые задачи в решебнике: