Наивероятнейшее число. Примеры задач и калькулятор

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Напомню, что мы рассматриваем типовые задачи схемы Бернулли (или независимых повторных испытаний). Чаще всего эти задачи связаны с нахождением вероятности того, что событие произойдет сколько-то раз в серии опытов (см. решения задач про выстрелы, билеты лотереи, партии в шахматы или рождения детей). Но еще один часто встречающийся тип задач - тот, где требуется подсчитать наиболее вероятное число наступлений события.

Вычисление этого значения имеет большое практическое значение, что легко видно из постановки задач:

1. С завода отправили 100 ящиков с хрупким товаром. Вероятность того, что ящик повредится в пути, равна 0,01. Какое наиболее вероятное число поврежденных ящиков будет на станции приема груза?

2. Вероятность того, что лампа небракованная, равна 0,97. Для ресторана закупили 124 лампы. Каково наиболее вероятное число рабочих ламп?

Конечно, в реальной жизни эти задачи формулируются более сложно и решаются по иным правилам, но для учебных целей мы разбираем простейшие случаи. Перейдем к формуле, для чего сформулируем общую постановку задачи еще раз:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых одинакова равна $p$. Тогда наивероятнейшее число $m$ наступлений события $A$ в этой серии опытов можно найти по формуле: $$ np-q \le m \le np+p, \quad q=1-p. \qquad (1) $$

Часто после нахождения наибольшего числа успехов требуется вычислить вероятность наступления именно этого числа, для чего используем обычную формулу Бернулли:

$$ P_n(m)= C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}. \qquad (2) $$

Примеры решений задач о наиболее вероятном значении

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий?

Выписываем известные величины $n=100, p=0,8$ и подставляем в формулу (1): $$ 100 \cdot 0,8 - 0,2 \le m \le 100 \cdot 0,8 + 0,8, \\ 79,8 \le m \le 80,8,\\ m=80. $$ Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий равно 80 изделиям.


Пример 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Всего куплено $n=12$ билетов, вероятность выигрыша по каждому $p=0,2$. Получаем по формуле (1): $$ 12 \cdot 0,2 - 0,8 \le m \le 12 \cdot 0,2 + 0,2, \\ 1,6 \le m \le 2,6,\\ m=2. $$ Наиболее вероятное число выигрышных билетов равно двум. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_{12}(2)= C_{12}^2 \cdot 0,2^{2} \cdot 0,8^{10}=66\cdot 0,2^{2} \cdot 0,8^{10}=0,283. $$


Пример 3. Для данного баскетболиста вероятность забить мяч при одном броске равна 0,6. Произведено 10 бросков по корзине. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Спортсмен делает $n=10$ независимых бросков, вероятность забить мяч при каждом $p=0,6$. Подставляем все в формулу (1): $$ 10 \cdot 0,6 - 0,4 \le m \le 10 \cdot 0,6 + 0,6, \\ 5,6 \le m \le 6,6,\\ m=6. $$ Наиболее вероятное число попаданий равно 6. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2): $$ P_{10}(6)= C_{10}^6 \cdot 0,6^{6} \cdot 0,4^{4}=210 \cdot 0,6^{6} \cdot 0,4^{4}=0,251. $$


Пример 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?

Это несколько иная постановка задачи, хотя речь в ней тоже идет о наиболее вероятном числе. В отличие от разобранных выше, здесь уже задано $m=50$, $p=1/6$ (вероятность выпадения 6 очков на кости), а вот общее число бросков $n$ необходимо найти.

Начинаем с формулы (1), разбиваем ее на два неравенства и получаем из каждого выражение для $n$:

$$ np-q \le m, \quad m \le np+p, $$ $$ np \le m+q, \quad np \ge m-p, $$ $$ n \le (m+q)/p, \quad n \ge (m-p)/p. $$

Подставляем наши значения

$$ n \le (50+5/6)/(1/6), \quad n \ge (50-1/6)/(1/6), $$ $$ n \le 305, \quad n \ge 299. $$

Таким образом, нужно подбросить игральную кость от 299 до 305 раз.

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Полезные ссылки

Найдите готовые задачи в решебнике: