Формула числа размещений

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-k+1) $$

Если вы уже знакомы с сочетаниями, то легко заметите, что чтобы найти размещения, надо взять все возможные сочетания, а потом в каждом еще поменять порядок всеми возможными способами (то есть фактически сделать еще перестановки). Поэтому число размещений еще выражается через число перестановок и сочетаний так:

$$A_n^k= C_n^k \cdot k! = C_n^k \cdot P_k.$$ число размещений из 3 элементов по 2

Получилась такая изящная формула, объединяющая три других формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок).

Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фруктов) в группы по $m=2$ с учетом порядка - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $$A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6.$$

Найти число размещений из n элементов по k

Чтобы вычислить число размещений $A_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.


Полезные ссылки

Поищите готовые задачи в решебнике: